Cho hình bình hành ABCD , M là trung điểm BC , N thỏa mãn vecto NC = 2 ND .
a Biểu thị vecto DM ,MN theo 2 vecto AB , AD
b Biểu thị vecto MN theo vecto AC và BD
Cho Δ ABC . Trên tia BC lấy điểm D sao cho 3BD = 2BC (3 lần vecto BD = 2 lần vecto BC ) . Gọi E là điểm thỏa mãn : 3EA+EB+2EC = 0 (vecto)
a. Biểu thị vecto AD , AE theo 2 vecto AB , AC
b. Chứng minh A , E , D thẳng hàng và E là trung điểm AD
c. Trên AC lấy F và đặt FA = kAC (k ϵ R , vecto) . Tìm k để B , E , F thẳng hàng
cho hình bình hành ABCD tâm O, M là trung điểm OB
a, chứng minh vecto AB- vecto DA +vecto CD=vecto AD
b, điểm N thuộc BC thỏa mãn vecto BN=k vectoBC , tìm k để A,M,N thẳng hàng
\(a,\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AD}\)
\(b,\overrightarrow{AM}=\dfrac{\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AB}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}}{2}=\overrightarrow{\dfrac{AB}{2}}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
\(=\overrightarrow{\dfrac{AB}{2}}+\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}}{4}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\overrightarrow{BC}}{4}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\left(1\right)\)
\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BA}=k.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)A,M,N\) \(thẳng\) \(hàng\Leftrightarrow\dfrac{k}{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{4}}\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{3}\)
Trên hình bình hành abcd tâm o lấy m n sao cho vecto am=vecto mb vectoan=2vectond.gọi k h lần lượt là trung điểm mn oc biểu diễn kh theo vecto ad ab
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}\Rightarrow2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{ND}=2\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AD}\right)=-2\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{AD}\Rightarrow3\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AD}\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\)
Do K là trung điểm MN
\(\Rightarrow\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)
Theo tính chất hbh: \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)
Do O là tâm hình bình hành \(\Rightarrow\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
Mà H là trung điểm OC \(\Rightarrow\overrightarrow{OH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AH}\)
\(=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{ND}\)
=>A,N,D thẳng hàng và AN=2ND
ABCD là hình bình hành tâm O
=>O là trung điểm chung của AC và BD
H là trung điểm của OC
nên HO=HC=1/2CO
=>\(HO=HC=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot CA=\dfrac{1}{4}CA\)
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}\)
=>AM=MB và M nằm giữa A và B
=>M là trung điểm của AB
AN+ND=AD
=>2ND+ND=AD
=>AD=3ND
=>AN/AD=2/3
=>\(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\cdot\overrightarrow{AD}\)
\(\overrightarrow{KH}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MH}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CH}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AM}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}\right)\)
\(=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AD}\)
Cho tam giác ABC, gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. D là trung điểm của AM. Chứng minh rằng:
a, vecto AB+ vecto AC+ vecto MN+ vecto MP = vecto 0
b, vecto NB+ vecto NC - 2.vecto AN= 4.vecto ND
CHo tam giác ABC, M là trung điểm của AC, N thuộc BC; 3 vecto BN=2 vecto NC. phân tích các vecto BM, AN,MN theo vecto AB,AC
\(\overrightarrow{BM}=\dfrac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}=\dfrac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}}{2}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \).
Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD tại E.
Khi đó tứ giác ABME là hình bình hành.
Do đó: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \).
Dễ thấy: \(AE = BM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)
Vậy \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)
Chú ý khi giải
+) Dựng hình hình hành sao cho đường chéo là vecto cần biểu thị, 2 cạnh của nó song song với giá của hai vecto đang biểu thị theo.
Cho hình vuông ABCD cạnh a a) xác định điểm K thỏa mãn vecto KA+ vecto KB+ vecto KC+4vecto KD = vecto 0 b) tìm {M} thỏa mãn : | vecto MA+ vecto MB + vecto MC +4vecto MF| = 2a c) tìm {N} thỏa mãn : |2 vecto NA- vecto NB + vecto NC | = | vecto ND +vecto NC|
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC.
a) Biểu thị các vecto \(\overrightarrow {DM} ,\overrightarrow {AN} \) theo các vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \)
b) Tính \(\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {AN} \) và tìm góc giữa hai đường thẳng DM và AN.
a) Ta có:
\(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \) (do M là trung điểm của AB)
\(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \) (do N là trung điểm của BC)
b)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DM} .\overrightarrow {AN} = \left( { - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\\ = - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \end{array}\)
Mà \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = 0\) (do \(AB \bot AD\)), \({\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2} = {a^2};{\overrightarrow {AD} ^2} = A{D^2} = {a^2}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {DM} .\overrightarrow {AN} = - 0 - \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{2}{a^2} + \frac{1}{4}.0 = 0\)
Vậy \(DM \bot AN\) hay góc giữa hai đường thẳng DM và AN bằng \({90^ \circ }\).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng A’C và C’D sao cho vecto MA'= -3 vecto MC , vecto NC'= - vecto ND . Đặt vectoBA = A, vecto BB' =b , vecto BC= c. . Hãy biểu thị các vectơ BM và BN qua các vectơ a,b,c? CM: MN// BD'